Wenn jemand fragt, was ich als Beruf mache, sage ich: "Ich bin Mathematiker." Oft bekomme ich Reaktionen wie "Was gibt es in der Mathematik denn noch zu lernen, als 2+2 = 4?", oder ein bisschen scherzhaft: "Vielleicht hast du entdeckt, dass 2 + 2 nicht 4 ist?". Von einem Universitätsrektor, der etwas Nettes sagen wollte, habe ich sogar gehört : "Au, ich habe Mathematik in der Schule aufgegeben. Was ihr macht, ist richtig schwierig". Oder noch "Du, ich habe hier ein kompliziertes Rätsel mit Zahlen. Du bist so klug, du wirst die Lösung sofort finden, oder?" Wie würde es klingeln, wenn man einen Schriftsteller beim Kennenlernen sagt: "Ich habe das Lesen in der Schule aufgegeben" Oder fragt: "Wozu noch Bücher schreiben? Gibt es noch was Interessantes zu sagen?". Oder mit guten Absichten kommentiert "Kreuzwörterrätseln kannst du schnell knacken, oder?". Solche Interkationen verunsichern mich. Ich antworte dann leicht provokativ: "Ich zähle nicht mit Zahlen, sondern mit Buchstaben und Strukturen".
In der Schule und im Alltag bedeutet "Rechnen" Addition, Multiplikation, Division, manchmal Potenzen von Zahlen. Und Zahlen haben wir gelernt, mit indischen Ziffern zu bezeichnen. Rechnung an der Uni und in der Forschung sieht meistens ganz anders aus. Geschriebene Mathematik sieht wirklich einzigartig aus: neben gewöhnlichen Buchstaben, Wörtern und Sätzen und manchmal auch Ziffern verschachteln sich Buchstaben aus anderen Alphabeten, zahlreiche Symbole, Formeln, Diagramme und vielmehr ineinander. Auf Schmierpapiere oder Tafeln von MathematikerInnen sind sogar auch die Wörter und Ziffern fast abwesend und die Reihenfolge der Gedanken sind für Fremden schwer zu folgen. Ja, Mathematik ist wie ein Fremdsprache.
Diese scheinbare Komplexität ist für die übenden MathematikerInnen in der Tat der schnellste Weg, zu kommunizieren und sich zu verstehen. Diese merkwürdige Symbolik ist für diejenigen, die sie lesen können, beruhigend, denn sie bietet den einfachsten Zugang zu komplexen Ideen. Die Schreibweisen wurden im Laufe der Jahrhunderte geschmiedet und optimiert, sodass sich die beabsichtigte Bedeutung eindeutig, genau und bündig ablesen lässt. Die Schmiede ist noch heutzutage aktiv. Wie bei allen lebendigen Sprachen werden neue Wörter, Begriffe, Schreibweisen und Spracharten regelmäßig eingeführt. Manche davon werden sich verbreiten und von einer Mehrheit aufgenommen werden, andere geraten in Vergessenheit. In dem gleichen kreativen Zug überarbeitet die Mathematik ihre Grammatik und ihre Literatur während sie ständig die Notationen entwickelt, die sie für ihre Aussagefähigkeit und Effizienz am bestens geeignet findet.
Zum Beispiel: Kurz nach dem zweiten Weltkrieg hatte der Physiker Richard Feynman für die besondere Integralrechnungen, die er für die Untersuchung von hochenergetischen Teilchen brauchte, eine Schreibweise mit Graphen eingeführt. Es waren ursprünglich nur persönliche und kindischen Skizzen, die ihm dabei halfen, seine langen Rechnungen zu organisieren. Es sah wie eine Summe aus, aber anstatt Zahlen addiert man Graphen. Aus einer Schreibweise ist eine Methode entstanden und bis heute verbringen noch viele theoretische Physiker (oder ihre Computer) eine Menge Zeit, die Feynmanschen Graphen aufzulisten und dann zu summieren, die für ihre Probleme relevant sind. Das ist Teil der Kunst, das Verhalten von Teilchen in extremen komischen Umgebungen hervorzusagen. Resultate von diesen Graphensummen werden in Teilchenbeschleunigern wie bei CERN in Genf getestet, sodass physikaliche Theorien dann bestätigt oder entkräftet werden können.
Zahlentheorie bleibt natürlich noch Teil von zeitgenössicher Mathematik. Dazu gehört zum Beispiel offene Fragen wie: Wie verteilen sich grosse Primzahlen (in Verbindung mit der Riemannschen Vermutung)? Wie groß dürfen die Primfaktor von a,b,c sein, wenn a + b = c (im Verbindung mit der ABC-Vermutung)?. Man braucht keine exotische Schreibweise, um die genaue Formulierung von diesen Fragen zu geben. Man braucht keine fachliche Ausbildung, um diese Formulierungen zu lesen. Das ist aber anders, wenn man diese Fragen richtig untersuchen möchte. Aber Mathematik ist viel reicher als den Umgang mit Zahlen---so reich, dass kein Mathematiker allein mit ihr in ihrer ganzen Weite vertraut ist. Sie kümmert sich zB auch um Knoten und Zöpfe; um die Gestalt von Räumen, in denen man sich mit Vorstellungskraft in beliebig vielen Dimensionen (nicht nur 3) bewegen kann; um die Kunst, diese Räume zu messen und zu vergleichen; um Operationen, die Addition, Multiplikation, usw. verallgemeinern und gewissen Kompatibilitätsregeln genügen; um Symmetrien und die unterschiedlichen Möglichkeiten, in denen wir sie begegnen können; um verschiedene Begriffe von Gleichheit und Gleichartigkeit; um zufällige Bäume; um Unterobjekte, Quotientenobjekte, Zerlegungen in einfachen Objekten, strukturerhaltende Transformationen zwischen Objekten und um Kochrezepte mit Objekten. Und noch Vieles mehr.
Objekte des mathematischen Universums sind wie Zutaten und Geräten in einer Küche, und die Mathematik erforscht alle möglichen Spiele und Kochrezepte, die man in der Küche entdecken kann. Hier ist ein Beispiel von Kochrezept aus den 80en für das Jones-Polynom eines Knoten, nach Louis Kauffman. Zeichnen Sie Ihr Knoten auf Papier. Falls Sie eine Kreuzung von zwei Strängen sehen, ersetzen Sie Ihr Knoten mit der Summe von zwei Knoten: einer mit Gewicht Q^4, bei dem der oben verlaufende Strang nun unten verläuft; und eine Abänderung der Knoten, wo sich diese Stränge nicht mehr kreuzen und die mit Koeffizient Q^3 - Q gewichtet ist. Wiederholen Sie das Verfahren, bis Sie keine Kreuzungen mehr sehen. Schließlich ersetzen Sie Ihr nun völlig entknoteten Knoten durch die Zahl 1. Das Resultat ist das sogennante Jones-Polynom: Es ist eine Funktion von der Variable Q, die wie ein numerischer Ausweis des Knoten wirkt. Anhand dieses Ausweises können die Identität von einem Knoten erkannt werden, meistens ohne Verwechslung. Die Rechenarbeit entwirrt den Kabelsalat. Es wurde später entdeckt, dass dieser numerische Ausweis etwas mit Summen von Feynman-Diagrammen zu tun hat. Warum und wie, ist eine sehr lange Geschichte. Überraschungen treten immer wieder auf, wenn man genug Zeit in enger Begleitung von mathematischen Konstruktionen verbringt.
