Mathematik ist rigoros und streng. Keine Aussage wird als wahr akzeptiert, wenn wir sie nicht vorher nach einem rigiden Schema bewiesen haben. Und das ist auch gut so! Das gibt Mathematik einen universellen Charakter: Mathematik ist zeitlos – Mathematik ist ortlos (zumindest in erster Approximation). Dank dieser Arbeitsweise können wir Jahrtausendalte mathematische Schriften lesen, und beobachten, dass sie auch heute noch gelten. Die darin hergeleiteten mathematischen Wahrheiten sind auch heute noch wahr. Umso merkwürdiger erscheint es, dass es in der Mathematik einen der wohl offensten und lockersten Existenzbegriffe gibt.

Natürlich können Mathematiker*innen nur mit Objekten arbeiten, die auch tatsächlich existieren. Es würde auch die nicht-mathematische Gesellschaft irritieren, wenn wir in der Mathematik Strukturen und Konzepte untersuchen würden, von denen wir wissen, dass sie nicht existieren können. Oder? Aber was bedeutet ‚Existenz‘ in der Mathematik? Existieren zum Beispiel Zahlen? Bei natürlichen Zahlen wie 1, 2 und 3 könnte man vielleicht nur intuitiv ‚ja!‘ sagen, schließlich können wir 1, 2 oder 3 Äpfel in die Hand nehmen. Auch bei Brüchen kommt man noch mit, oder? Eine ¼ Pizza ist einfach ein Stück einer Pizza, die in 4 gleich große Stücke geschnitten wurde. Wie sieht es aber mit einem Millionsten Stück Pizza, oder einem Quadrilliardsten Stück Pizza aus? Gibt es sowas auch? Da wird die Sache kniffliger. Und auch in die andere Richtung wird es schwierig, wenn wir immer größere Zahlen in Erwägung ziehen, die für uns immer unvorstellbarer werden. Und irgendwann sind wir bei der Unendlichkeit ankommen. Gibt es sie auch? Existiert sie? Schließlich ist dieses Konzept eines, das es in der realen Welt nicht gibt. Wir können Unendlichkeit nicht erfahren. Es ist durchaus wohlberechtigt, die Existenz der Unendlichkeit infrage zu stellen.

Und so kommen wir zum mathematischen Begriff der Existenz. Ganz oft ist in der Mathematik Existenz nicht evidenzbasiert. Wir können viele dieser Objekte ja nicht ‚sehen‘. Vielmehr basiert mathematische Existenz an vielen Stellen auf Widerspruchsfreiheit. Widerspruchsfreiheit bedeutet, dass die Annahme der Existenz eines mathematischen Objektes nicht zu Widersprüchen führt. Also, dass dem nichts im Wege steht, mit diesem Objekt zu arbeiten. Das kann aber recht vage klingen. Oder? Man muss ja zeigen, dass ein solches Objekt widerspruchsfrei ist, was aber nicht wirklich einfach klingt.

Es gibt aber noch mehr Probleme. Man könnte denken, dass eine solche Arbeitsweise nicht ‚wissenschaftlich‘ ist, schließlich ist Wissenschaft evidenzbasiert. Und ja, auch viele Mathematiker*innen hatten im Laufe der Geschichte so ihre Schwierigkeiten mit diesem Konzept. Sie versuchten, all jene Objekte aus der Mathematik zu verbannen, die wir nicht explizit definieren können, oder die wir nicht in endlichen vielen (also nicht unendlichen vielen) Schritten konstruieren können. Letztendlich haben sie sich nicht durchsetzen können. In der Mathematik arbeiten wir heute mit eben diesem flexiblen Verständnis der Existenz – und wir fühlen uns wohl dabei. Interessanterweise ist es ein riskantes Unterfangen, wenn man es aus dieser Perspektive betrachtet. Denn es kann rein technisch passieren, dass nach Jahren der Arbeit in einem mathmematischen Teilgebiet jemand beweist, dass das Teilgebiet zu Widersprüchen führt, also nicht widerspruchsfrei – und somit wertlos ist.

In anderen Disziplinen finden sich ähnliche Angehensweisen. Im Rechtswesen redet man vom Grundsatz ‚In dubio pro reo.‘, auf Deutsch ‚Im Zweifel für den Angeklagten.‘ womit in gewisser Weise ähnlich argumentiert wird: „Wir brauchen Evidenz, um gegen etwas zu sein.“ Der klare Unterschied ist natürlich, dass dieser Grundsatz nicht bedeutet, dass ein Angeklagter unschuldig ist – Mathematiker*innen aber doch von der Existenz jener Objekte ausgehen, die noch als widerspruchsfrei gelten. Und noch was: Mathematiker*innen haben auch Gesetze (man nennt sie Axiomen). Aber es gibt viele Länder, und jedes Land darf unterschiedliche Gesetzen haben. Wir sprechen hier nicht von aktuellen, geografischen Ländern, das nutzen wir nur als Metapher. Wichtig ist, sich vorzustellen, dass Mathematiker*innen Weltbürger*innen sind, sie müssen nicht nur zu einem bestimmten Land gehören.

Aber wenn sie in einem Land zu Besuch sind, müssen sie sich natürlich an die dortigen Gesetze halten. Anders gesagt: Was in einem Land existiert, ist vielleicht in einem anderen Land gesetzlich verboten. Man kann dennoch Mathematik in jedem Land machen, und deshalb unterschiedliche Urteile für den gleichen Fall schließen, je nach Gesetzessystem! Stellen wir uns vor, wir besitzen unendlich viele Paare Socken. Nun sind wir aufgestanden und stehen vor unserem Schrank: Werden wir es schaffen, daraus ein Paar Socke für heute auszuwählen? Tja, warum wäre es nicht möglich? Sagen wir mal, dass wir uns entschieden haben, ein solches Land zu besuchen, wo das Prinzip der Existenz von einer solchen Auswahl gewährleistet ist (Ländern des ZFC-Bündnisses). Dann müssen Sie aber die Existenz von vielen anderen ganz extravaganten Situationen akzeptieren. Wie zum Beispiel die Möglichkeit, eine Orange in endlich viele Stücken zu zerlegen und damit zwei Orangen zu basteln, die beide identisch zu der ursprünglichen Orange sind. Das ist kein Scherz, sondern die informelle Formulierung des Theorems von Banach-Tarski. Wir können aber nicht nach einem Handbuch fragen, das erklärt, wie genau diese Zerlegung und dieses Wieder-Zusammenkleben funktioniert: Es gibt keins. Das Beste, was die Gesetze sagen können, ist, dass die Zerlegung und das Wieder-Zusammenkleben möglich ist, sie existieren. Ob wir diese Art von nicht-konstruktiver Existenz akzeptieren oder nicht, ist unsere Entscheidung und hängt von unserer Lebensphilosophie ab. Die Rolle der Mathematik ist eher, mithilfe der Logik herauszufinden, welche Urteile in einem gegebenen Land gelten können, und manchmal auch die Kräfte von unterschiedlichen Gesetzessystemen zu vergleichen.