In seiner Rede von 1872 „Über die Grenzen des Naturerkennens“ hat der Physiologe Emil du Bois Raymond, später Rektor der Friedrich-Wilhelm (heute die Humboldt-) Universität zu Berlin, die Befürchtung ausgedrückt, die Antwort auf manche Fragen in der Wissenschaft seien nicht nur unbekannt, sondern blieben auch ewig für das Menschenwissen unerreichbar. Damit meinte er insbesondere die Frage: „Was Materie und Kraft seien, und wie sie [in Lebewesen] zu denken vermögen.“ Er schlug später eine Liste von sieben „Welträtseln“ vor, die seiner Meinung nach unerklärbar bleiben würden.

Diese Stellungnahme stand im Gegensatz zu dem derzeitig weit verbreiteten Positivismus gegenüber der Allmächtigkeit der wissenschaftlichen Entwicklung. Ein solcher Optimismus war auch in der Mathematik anzutreffen; Anlass gab es dafür genug: Ein gutes Beispiel hierfür sind die sogenannten „Drei Probleme der Antike“, eines davon die bekannte Frage nach der Quadratur des Kreises. Hierbei handelt es sich um drei mathematische Fragestellungen, die vor mehr als 2000 Jahren formuliert wurden, aber so hartnäckig waren, dass sie über Jahrhunderte, ja Jahrtausende, nicht geknackt werden konnten. Nun hatte es die Mathematik aber tatsächlich geschafft, auch eine Antwort auf diese Fragen zu finden und somit fühlte sie sich von ewigen Rätseln verschont – ihre Fragestellungen schienen ideale und kontrollierbare Objekte zu betreffen.

Diese Erwartung wird durch den Satz David Hilberts "Wir müssen wissen, wir werden wissen" verkörpert, den er 1930 in einer Radioanrede aussprach, als er 68 Jahre alt war. Damit wollte er seinen Optimismus ausdrücken, dass alle mathematische Fragestellungen mit ausreichend Zeit und Mühe gelöst werden können, und zwar mit einem Beweis, der den angenommenen logischen Regeln folgt. Im Jahr 1900, zum Internationalen Mathematiker Kongress in Paris, hatte er eine Liste von 23 Problemen für das 20. Jahrhundert verfasst, die er für besonders wichtig hielt. Sein Ziel war es, dass in naher Zukunft die mathematische Gemeinschaft Antworten auf all diese Probleme finden sollte. Diese Probleme decken ein breites Spektrum der Mathematik und Physik ab: Das berühmteste Beispiel ist wohl die Riemann'sche Vermutung, die bis heute noch ungelöst ist und herausragende Konsequenzen für unsere Kenntniss über große Primzahlen hätte. Zu Hilberts Liste gehören auch Probleme, welche sich eher als allgemeine Wünsche auffassen lassen: Eine vollständige Axiomatisierung der Physik, oder Fragen nach der theoretischen Existenz von Lösungen partieller Differentialgleichungen, die oft für die Beschreibung von natürlichen Phänomenenauftauchen.

Ironie des Schicksals: Nur drei Jahre nach Hilberts Radioanrede zeigte der Logiker Kurt Gödel, dass es wohlformulierte mathematischen Fragestellungen gibt, welche nicht gelöst werden können. Solche Fragen haben oft mit der Unendlichkeit zu tun. Zum Beispiel wurde in den 1960ern gezeigt, dass die Frage, ob es eine Unendlichkeit gibt, die „größer“ (in einem genauen Sinn) als die natürlichen Zahlen aber „kleiner“ als die reellen Zahlen ist, innerhalb des bisher angenommenen logischen Rahmens nicht beantwortet werden kann. Somit war dieses, Hilberts 1. Problem, also faktisch unlösbar. Die theoretischen Grenzen der Kenntnis, die zum ersten Mal von Gödel entdeckt wurden, sind kein Paradoxon, sondern eine Eigenschaft der Mathematik. Man kann sich einen mathematischen Beweis der Wahrheit eines Satzes (d.h. einer Aussage wie beispielsweise: Alle Polynome von Grad n haben höchstens n Nullstellen) als eine endliche Kette von zulässigen Schritten vorstellen, die mit wahren Aussagen anfängt und mit der Wahrheit des gezielten Satzes schließt. Mit Gödels Ergebnissen haben wir gelernt, dass manche wohlformulierte Sätze einfach „zu weit entfernt“ von diesem Spiel sind, um sich durch eine solche endliche Kette greifen zu lassen.

Auch wenn bis heute drei von Hilberts Problemen vollständig ungelöst sind und weitere acht nur Teillösungen besitzen oder erwiesen unlösbar sind, ist das Vermächtnis der Liste von Hilbert nicht durch die Existenz der Lösungen bestimmt. Vielmehr wurden neue Denkweisen und ganze Richtungen der Mathematik gewonnen, welche beim Versuch, diese Probleme zu begreifen entstanden sind, und heute selbst etliche spannende Fragen aufwerfen.