Der Mathematiker Paul Painlevé hat 1900 diesen Satz in einer Zusammenfassung seiner Werke geschrieben. Der Satz hat später ein breiteres Publikum nach Hadamards 1955 Essay über die Psychologie von Erfindung in dem mathematischen Feld erreicht.

Mir kommt das Bild einer imaginären Welt vor, wo unsichere Ideen sich ausdehnen dürfen und somit Verbindungen zwischen konkreten, reellen und weit voneinander entfernten Wahrheiten sich herauskristallisieren können. Wir kennen das als Menschen: Mit Träumen kann man manchmal die Zusammenhänge zwischen fremden Gedanken oder Situationen deutlich erkennen---mit einem weiten Sprung, den die Vernunft und die Realität es uns so nicht erlauben würden. Diese Metapher ist eigentlich nah an den tatsächlichen Anwendungen von komplexen Zahlen seit Anfang des 19. Jahrhunderts.

Aber was ist mit komplexen Zahlen gemeint? 1545 veröffentlichte der italienische Mathematiker Gerolamo Cardano sein bekanntestes Werk, die Ars Magna, oder auf Deutsch: Die große Kunst. In diesem Werk über Algebra wird zum ersten Mal seit rund 5000 Jahren ein Fortschritt in der Lösung von algebraischen Gleichungen erzielt. Schon die Babylonier wussten, wie man quadratische Gleichungen löst, und auch heute lernt man dies noch im Gymnasium oder im 1. Semester an der Uni. Aber was ist mit kubischen Gleichungen? Können wir reelle Zahlen finden, die solche Gleichungen lösen? Über Jahrhunderte, ja gar über Jahrtausende entwich die Lösung dieses Problems der Kreativität der Mathematiker. Bis eben zur Ars Magna. Hier wird erstmals eine Formel zur Lösung kubischer Gleichungen präsentiert.

Es gab aber ein kleines Problem. Bei bestimmten Fällen taucht in Cardanos Lösungsformel die Wurzel aus negativen Zahlen auf. Das ergab damals keinen Sinn, und wir lernen auch in der Schule, dass keine Wurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen sind. Doch wenn wir einfach so tun, als würden Wurzeln negativer Zahlen existieren, und wir einfach mit diesen Termen rechnen wie mit normalen, reellen Zahlen, dann kürzen sich alle komischen Wurzeln gegenseitig weg und am Ende steht dann doch eine korrekte, reelle Lösung des Problems. Dies gilt als die Geburtsstunde komplexer Zahlen. Mathematiker haben vor 200 Jahren beschrieben, wie man ein Zahlensystem (komplexe Ebene genannt) aufbauen kann, das die "reellen" Zahlen erweitert und wo das Wurzelziehen von negativen Zahlen möglich ist. (Das Ergebnis ist natürlich nicht reell, man nennt es eine „imaginäre Zahl"). Diese Namen sind nur ein Zeichen der historischen Wahrnehmung dieser Zahlen. Notwendig für diese mathematische Revolution war nur die Kühnheit, mit Zahlen zu rechnen, die unserem ursprünglichen Verständnis nach gar nicht existieren dürfen. Die Entdeckung der komplexen Zahlen ist ein wunderbares Beispiel von „out-of-the-box"-Denken, bei dem man sich von der eigenen Erfahrung und Intuition loslösen muss und einfach nur blind den mathematischen Rechnungen vertraut, um ans Ziel zu gelangen.

Seit dem 19. Jahrhundert wurden zahlreiche wundervolle Formel formuliert, die dem Reich der reellen Zahlen gehören, aber eben mit einem Umweg durch die komplexe Ebene erfunden oder erklärt wurden. Zum Beispiel Identitäten zwischen Winkelfunktionen, Grenzwerte von unendlichen Summen, Berechnungen von Flächeninhalten und Volumen von komplizierten Gebieten usw. Diese Entwicklungen haben sich auch auf die Physik ausgewirkt, wo die Berechnungsmöglichkeiten für die Vorhersage von natürlichen Phänomenen entscheidend ist.

Ich ende mit einer poetischen Darstellung einer Methode, deren Wirksamkeit an der Uni gelehrt wird. Um den Flächeninhalt eines reellen Gebietes zu messen, kann man dieses Gebiet in die komplexe Ebene fortsetzen, soweit es möglich ist. Die Hindernisse, auf die wir somit treffen, lassen wir nicht aus, sondern wir umarmen sie. In Vertraulichkeit werden sie uns das begehrte Maß flüstern.