Eine Laugenbrezel hat drei Griffe, oder "Löcher". Sie kann auch in vier Stücke zerlegt werden, die wie ein Y aussehen und die bestimmt einfacher zu essen sind als die ganze Brezel. Ein Y-Stück, das von seinem Inhalt geleert wird, sieht so aus wie eine Hose – und deswegen nennen Mathematiker sie auch so: Hosen! Die Oberfläche einer Brezel ist ein interessantes Beispiel einer zusammenhängenden, geschlossenen, orientierbaren Fläche. Stelle dir ein Insekt vor, das auf deiner Brezel läuft. Egal, wo es startet, kann es sich in zwei grundsätzlichen Achsen (oder Richtungen) bewegen: links/rechts oder vorwärts/rückwärts. Es kann so nach vielen kleinen Schritten alle Punkte des verfügbaren "Raumes" besichtigen. Solch einen Raum nennt man eine Fläche. Sie ist dann geschlossen, wenn sie kein Ende / keinen Rand hat und wenn das Insekt sich nicht unendlich weit von seinem Startpunkt entfernen kann. Eine Bettdecke ist auch eine Fläche, aber sie ist nicht geschlossen da sie einen Rand besitzt über den das Insekt runterfallen kann. Der alte Glaube an eine flache Erde zeigt, dass der Begriff der geschlossenen Fläche lange Zeit nicht völlig verdaut wurde. Die euklidische Ebene, in der wir in der Schule arbeiten oder wo Architekten ihre Pläne zeichnen, ist nicht geschlossen, weil sie theoretisch unendlich ausdehnnbar ist. Die Fläche ist orientierbar, wenn das Insekt niemals sein Links mit seinem Rechts vertauschen kann. Das Möbiusband oder die Kleinsche Flasche sind Beispiele von Flächen, die nicht orientierbar sind. Schließlich bezieht sich das Adjektiv zusammenhängend nur darauf, dass es nur ein Stück Brezel gibt.

Geschlossene Flächen können verschiedene Gestalten haben: die Oberfläche der Erde hat keinen Griff, die Oberfläche einer Tasse hat einen, die Oberfläche von einem Brillenrahmen hat zwei (wo die Gläser fixiert werden), und die Oberfläche der Brezel hat drei. Aber diese Gestalt sehen wir von "außen". Können auch Insekte diese unterschiedliche Eigenschaften unterscheiden? Merkt es, wenn eine Oberfläche 1, 2 oder 3 Löcher hat? Es ist eine wohlberechtigte Frage, schließlich bewegt es sich auf der Oberfläche und schaut nicht von außen darauf hin. Und die Antwort lautet: ja. So wie auch die Menschheit erkennen konnte, dass unsere Erde eine Kugel ist, so lässt sich ein Loch innewohnend aufspüren, wenn das Insekt eine geschlossene Laufbahn findet, die nicht der Rand eines Flecks sein kann.

Nach zahlreichen Beiträgen in der zweiten Hälfte der 19. Jahrhunderts, unter denen die Namen von Riemann, Klein, Poincaré, Koebe und Dehn auszusondern sind, konnten Flächen klassifiziert werden. Das Ergebnis sieht offensichtlich aus, der Beweis nimmt eine Menge Mathematik in Anspruch: Jede zusammenhängende, geschlossene, orientierbare Fläche, die nicht wie die Oberfläche einer Orange (g=0) oder eine Tasse (g=1) aussieht, sieht wie ein Gummibretzel mit g Griffe. Es ist also keine andere Gestalt möglich! Außerdem lässt sich jede solche Fläche mit 3g - 3 Schnitten in 2g - 2 Hosen zerlegen. Diese einzige Zahl 2g - 2 heißt die Charakteristik von der Fläche und bestimmt eindeutig ihre Gestalt.

Die Charakteristik ist wie ein Maß von der Komplexität der Fläche. Je größer die Charakteristik, desto mehr Hosen brauchen wir, um die Form zu bilden. Es ist aber ganz oft einfach nur notwendig, zu verstehen, was in der einzelnen Hose passiert, um Eigenschaften über die gesamte Fläche herzuleiten. Und deswegen sind Mathematikerinnen so sehr daran interessiert, Hosen zu basteln und zu zählen.