Mathematik ist eigensinnig, Mathematik ist kapriziös. Wir denken oder fühlen oft, dass wir sie kontrollieren. Dass wir mit den Formeln, Zahlen und Gleichungen eben das tun, was wir möchten. Aber tatsächlich könnte es kaum einen größeren Irrtum geben. Denn es gibt eine Tatsache, die geradezu unausweichlich ist: Wir können nicht entscheiden, welche mathematische Aussagen wahr sind. In anderen Disziplinen, wie zum Beispiel in der Physik oder in der Biologie, kann man Theorien entwickeln, die nicht perfekt sein müssen. Es reicht, wenn sie gut genug sind und wenn sie das tun, was wir von ihnen brauchen. Erst wenn wir ein Phänomen gut genug verstehen, dass eine alte Theorie nicht gut genug erscheint, eine neue aber zufriedenstellender ist, ändern wir unsere Theorie. Das ist in der Mathematik nicht möglich. Ein Teilgebiet der Mathematik kann nicht ‚gut genug sein‘ und wir können nicht mathematische Formeln als ‚wahr‘ einstufen, weil wir denken, dass sie für uns nützlich sind. Uns bleibt nichts anderes übrig, als der Mathematik unsere Ideen zuzuflüstern und dann zu warten, was sie dazu meint. Und in diesem Spiel, das wir mit der Mathematik spielen, passiert es immer wieder, dass sie uns mehr gibt, als wir eigentlich wollten.

Schauen wir uns dazu doch das historische Zusammenspiel zwischen Geometrie und Algebra an. Nehmen wir zum Beispiel an, dass wir einen Garten haben und wir wollen nun einen Teil mit Blumen beschmücken und dann noch eine Grünfläche haben. Die Grünfläche soll eine Länge x haben, die wir noch bestimmen wollen, und nachdem all unsere Vorstellungen über den Garten auf Papier gebracht haben, basteln wir uns eine Formel zusammen, die die Länge x erfüllen soll: x^2+5x-50=0. Wenn wir mit der alt-bekannten p-q-Formel nun diese quadratische Gleichung lösen, erhalten wir zwei Ergebnisse: x=5 und x=-10. Nun… Die zweite Lösung ergibt für uns jetzt keinen Sinn. Wie kann die Länge unserer Grünfläche negativ sein. Oder? Das geht nicht. Was wir hier machen ist einfach, die zweite Lösung zu vernachlässigen und wir behalten einfach x=5 als unsere Lösung. - - - Was wir hier aber ganz banal erklärt haben, ist eben besonders charakteristisch für die Mathematik, insbesondere für die Algebra. Wir haben nach einer Lösung unseres Problems gesucht – nach der Länge x die unsere Gleichung erfüllt – aber Algebra hat uns mehr als nur eine Antwort geliefert.

Früher, als diese Probleme noch ausschließlich eine geometrische Motivation hatten, und als wir Mathematiker noch nicht so richtig wussten, wie negative Zahlen funktionieren können, da haben diese negativen Lösungen einfach vernachlässigt. Mit der Zeit haben wir uns auch an die negativen Zahlen gewöhnt und haben gelernt, wie man sie benutzen kann. Dann aber kamen neue Zahlen, die uns wieder verunsicherten, wie zum Beispiel die Lösung der Gleichung x^2=-1. Eine solche Zahl gibt es auf dem reellen Zahlenstrahl nicht. Wir mussten, auch hier wieder, unser Verständnis von Zahlen erweitern und diese neuen Zahlen mit in unseren mathematischen Werkzeugkasten aufnehmen, die uns die Algebra geschenkt hat.

Immer, wenn so etwas passiert, ist es anfangs etwas ärgerlich. Wir haben nur eine Lösung der Gleichung gebraucht, nicht zwei! Die Lösung des Problems sollte eine konkrete Distanz zwischen zwei Objekten messen, was aber gar nicht möglich ist, wenn die Zahl nicht einmal eine reelle Zahl ist. - - - Doch mit der Zeit vergeht dieser Ärger, und wir nehmen diese Geschenke der Algebra dankend an. Sie bringen uns immer einen Schritt weiter und sie vertiefen stets unser Verständnis über die Algebra, über die Mathematik. Und dass wir diese Geschenke gar nicht erwarteten, das liegt nur daran, dass wir eben immernoch „nur“ Lehrlinge der Mathematik sind – und nicht die Meister.